miércoles, 17 de octubre de 2012

Sobre Poe, Maclaurin y las celdillas de las abejas...

          Es casi seguro que en alguna ocasión los lectores de Edgar Allan Poe (1809-1849) hayan tenido entre manos El Cuento Mil y dos de Sherezade. La historia es una escalofriante versión del destino final de la famosa narradora de Las Noches árabes. El cuento en sí se lee con mucho deleite por el enorme despliegue de conocimientos de los que se vale Poe para crear un argumento alucinante. Habla, por ejemplo, de bosques petrificados en Texas, el daguerrotipo, la pila voltaica, el jugador autómata de ajedrez de Maelzel, la máquina calculadora de Babbage, el electrotipo, el león-hormiga y las abejas. Esto último resulta lo más sorprendente. En una de las páginas de dicho cuento se lee lo siguiente (véase Aventuras de Arthur Gordon Pym y otros relatos, editorial Optima, Barcelona, 2da edición, 1999, p. 295):

          "Abandonando aquella tierra, llegamos en seguida a otra, en la que las abejas y los pájaros son matemáticos de tanto genio y erudición que diariamente dan lecciones científicas de geometría a los sabios del imperio. El rey de aquel lugar ofreció una recompensa por la solución de dos problemas muy difíciles; problemas que fueron resueltos al momento: uno por las abejas y otro por los pájaros; pero el rey guarda su solución en secreto y, sólo tras muchas discusiones y trabajo y la escritura de voluminosos libros durante una serie de años, llegaron los hombres matemáticos finalmente a soluciones idénticas a las dadas por las abejas y por los pájaros."

          Como se observa, Poe hace clara alusión a dos ancestrales problemas de las matemáticas. El primero, el de los pájaros, fue estudiado y analizado por el genio renacentista Leonardo da Vinci en El Códice de los pájaros (Biblioteca Real de Turín), que, dicho sea de paso, fue elemental para propiciar la invención de los molinos de viento y los aeroplanos. El segundo, igualmente interesante, es el problema de las abejas, del cual quiero detallar algunas cosas, que si bien no son nuevas, resulta interesante recordar desde el punto de vista matemático.

          Es popularmente conocido que las abejas son insectos sociales que se esfuerzan denodadamente en las colmenas (no tanto si consideramos los últimos estudios científicos), pero ¿cuántas personas saben que la construcción de la estructura interna de una celdilla del panal esconde un maravilloso y peculiar proceso matemático? ¿Quién podría sospechar que almacenar miel en un panal es un problema de máximos y mínimos? ¿A qué se debe la forma hexagonal de las celdas que forman el panal? ¿A qué se debe la elegante simetría de dichas celdas? Aunque ya anoté algunos descubrimientos matemáticos en una entrada anterior, añadiré ahora otra cuestión de interés en relación a la forma geométrica del fondo de las celdas.

          Las abejas construyen las celdillas de forma que sus paredes forman ángulos tan exactos que pueden almacenar en su interior la misma cantidad de miel empleando la mínima cantidad de cera en su construcción y lograr así la mayor estabilidad de la estructura, lo cual sucede cuando cada celda dispone de un fondo piramidal constituido por tres planos que se encuentran en un punto formando tres rombos idénticos. Para entender esto véase la figura siguiente:







          El ángulo JKL y el perímetro hexagonal determinan la forma final de la estructura más adecuada de la celda para almacenar la miel. ¿Cuánto mide dicho ángulo? ¿Qué tiene que ver con la forma hexagonal de la celda? Pues fueron grandes interrogantes, hasta que genios como Johanes Kepler, Charles Darwin, Giaccomo Maraldi, Lord Kelvin, Samuel Koenig, Gabriel Cramer y Colin Maclaurin los estudiaron a fondo. De entre las soluciones al problema de las abejas Maurice Maeterlinck (autor belga y premio Nobel de literatura en 1911) destaca, en su magnífica obra La vida de las abejas (léase capítulo 4), la de Maclaurin (el autor del famoso desarrollo en serie), cuyo trabajo al respecto puede encontrarse en los anales de la Sociedad Real de Londres. El ángulo agudo JKL resulta tener un valor aproximado de 70° 31'. 

          Algunos, como D'Arcy Thompson en su célebre On Growth and Form (Sobre el crecimiento y la forma), sugieren que la forma hexagonal es producto de la tensión superficial; otros, como Darwin, especulaban con que las celdas se acomodaban de tal forma que los espacios vecinos se redistribuyen partiendo de una forma cilíndrica hasta adoptar la inevitable forma hexagonal.

          Para Keith Devlin en El lenguaje de las matematicas "... no son las leyes de la naturaleza inanimada las que dan a los panales su elegante forma simétrica; son mas bien las propias abejas las que construyen sus panales de esa manera. Secretan la cera en forma de copos sólidos, y construyen el panal celda por celda y cara por cara. La humilde abeja es en algunos aspectos, por lo que se ve, un geómetra altamente consumado, al que la evolución ha equipado para la tarea de construir su panal de la forma matemática óptima."

          Aunque se trate de una licencia literaria, resulta muy sorprendente lo leído en el best seller de Dan Brown, El Codigo da Vinci (Doubleday, traducción española de Juanjo Estrella, Barcelona, Umbriel, 2003, Cap. 20, p. 121), sobre que la proporción aurea esté bastante relacionada con el mundo de las abejas, pues según dicho libro al dividir el número de hembras por el número de machos de cualquier colonia siempre se obtendrá como resultado el increíble número áureo: 1,618... Dejo la validez del dato como ejercicio para los lectores ¿Será este un dato empírico o se deducirá de la forma en que se reproducen las abejas?

          Finalmente, imaginemos que hace mucho tiempo existían diversas especies de abeja, que paralelamente construían celdillas de diferentes geometrías. Aquellas que gastaban menos recursos tenían una clara ventaja sobre las demás. ¿Se trata de una ventaja evolutiva según el concepto darwiniano?


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